Dimensionierung von Transformatoren


Zuletzt aktualisiert von Rolf Gloor am 20.12.2010

Die Dimensionierung von Transformatoren erfolgt über die magnetische Flussdichte im Eisen und die elektrische Stromdichte im Leiter. Die dauernd übertragbare Scheinleistung ist die Nennspannung mal der Nennstrom. Die Spannung und Frequenz ergibt die Anzahl Primärwindungen und den Eisenquerschnitt.

Spannungsanpassung: Die induzierte Spannung in der Primärwicklung ist die Veränderung der Flussdichte mal Anzahl Windungen mal Eisenquerschnittsfläche. Bei einem sinusförmigen Fluss ist die Ableitung der Flussdichte gleich gross wie die Kreisfrequenz mal die Flussdichte. Bei gegebener Flussdichte und Frequenz nimmt mit zunehmendem Eisenquerschnitt die erforderliche Anzahl Primärwindungen ab, was sich gut auf die Stromdichte in den elektrischen Leitern auswirkt. Je höher die Frequenz ist, desto kleiner wird der Transformator, je höher die Spannung ist, desto mehr Windungen sind erforderlich.

Symbol Einheit Bezeichnung Beziehungen
Φ Vs Magnetischer Fluss
N - Anzahl Windungen
AFe Eisenquerschnitt
B T Magnetische Flussdichte B = Φ / AFe
t s Zeit
f Hz Frequenz
ω 1/s Kreisfrequenz ω = 2 π f
U V Elektrische Spannung U(t) = N dΦ / dt
U(t) = N AFe dB / dt
U = N AFe ω B

In der letzten obenstehende Beziehung gelten die Effektivwerte für die Spannung und Magnetische Flussdichte. In der Literatur wird die letzte Gleichung meistens mit der Frequenz, dem Multiplikator 4.44 (Pi mal Wurzel 2) geschrieben und für die Magnetische Flussdichte der Spitzenwert verwendet.

Stromanpassung: Der Nennstrom ergibt sich aus der zulässigen Stromdichte, dem zur Verfügung stehenden Querschnitt für die Leiter und der Anzahl Windungen. Je mehr Windungen erforderlich sind, desto geringer wird der zulässige Nennstrom. Wenn der zur Verfügung stehende Querschnitt vergrössert wird, nimmt die Länge des magnetischen Flusses im Eisen zu, was dann oft mit einem grösseren Eisenquerschnitt aufgeführt wird, was wiederum eine Anpassung der Windungszahl erforderlich macht.

Symbol Einheit Bezeichnung Beziehungen
J A/m² Stromdichte
N - Anzahl Windungen
ACu Kupferquerschnitt
I A Elektrischer Strom I = ACu J / N

Beispiel für eine Dimensionierung

dimensionierung_transformator_abmessungen
Beispiel für eine Transformator-Dimensionierung.

Für den obenstehenden Transformator gelten folgende Daten:

Angabe Rechnung Bezeichnung Wert Bemerkung
U1 Primärspannung 230 V Wird auch Nennspannung genannt
I1 Primärstrom 1.1 A Wird auch Nennstrom genannt
S1 = U1 I1 Primärleistung 253 VA Entspricht bei grösseren Transformatoren der Nennleistung
U2 Sekundärspannung 12 V
I2 Sekundärstrom 20 A
S2 = U2 I2 Nennleistung 240 VA Sekundärleistung (Spannung mal Strom)
f Nennfrequenz 50 Hz
ω = f 2 π Kreisfrequenz 314 1/s
B Nenninduktion 1.2 T Effektivwert, meistens wird der Maximalwert angegeben
AFe Geometrie Eisenquerschnitt 0.0004 m²
lFe Geometrie Eisenlänge 0.32 m Rechteckiger Magnetflusspfad in der Mitte
μr Relative Permeablität 2000 Eisenfüllfaktor eingerechnet
μ = μr μ0 Permeabilität 0.0025 Vs/Am
σ Streuung 0.01
γF Spezifische Eisenverluste 6 W/kg bei 1,2 T Effektivwert und 50 Hz
ρFe Spezifisches Gewicht des Eisens 7800 kg/m³ Eisenfüllfaktor eingerechnet
ACu Geometrie Wicklungsfenster 0.0015 m² Primär und Sekundär gleich gross
lCu Geometrie Wicklungslänge 0.20 m Rechteckiger Stromflusspfad in der Mitte
ρCu Spezifischer Widerstand des Kupfers 20 10-9 Ωm bei einer Temperatur von 60 °C
fCu Füllfaktor Kupfer 0.5
S Stromdichte im Leiter 2 106 A/m² Geringe Belastung für einen kleinen Trafo mit 2 A/mm²

Bestimmung Anzahl der Primär- und Sekundärwindungen sowie die Drahtquerschnitte

Bezeichnung Beziehung Rechnung Ergebnis
Anzahl Primärwindungen N1 = U1 / (AFe B ω) = 230 V / (0,0004 m²  1.2 Vs/m²  314 1/s) = 1526 1530
Anzahl Sekundärwindungen N2 = N1 U2 / U1 = 1530  12 V / 230 V = 79.8 80
Leiterquerschnitt Primärwicklung ACu1 = fCu ACu / N1 = 0.5  0.0018 m² / 1530 = 0.588 10-6 0.5 mm²
Leiterquerschnitt Sekundärwicklung ACu2 = fCu ACu / N2 = 0.5  0.0018 m² / 80 = 11.3 10-6 10 mm²
Bemerkung: Die zulässige Stromdichte von 2 A/mm² wird eingehalten

Bestimmung der Grössen des Ersatzschaltbildes

Bezeichnung Beziehung Rechnung Ergebnis
Widerstand der Primärwicklung RCu1 = ρCu lCu N1 / ACu1 = 20 10-9 Ωm  0.20 m  1530 / 0.5 10-6 m² = 12.2 Ω 12 Ω
Widerstand der Sekundärwicklung RCu2 = ρCu lCu N2 / ACu2 = 20 10-9 Ωm  0.20 m  80 / 10 10-6 m² = 32.0 mΩ 33 mΩ
Induktivität der Primärwicklung L1 = N1² / (lFe / (AFe μ)) = (1530)² / (0.32 m / (0.0004 m²  0.0025 Vs/Am)) = 7.35 H 7.4 H
Induktivität der Sekundärwicklung L2 = N2² / (lFe / (AFe μ)) = (80)² / (0.32 m / (0.0004 m²  0.0025 Vs/Am)) = 20.1 mH 20 mH
Hauptinduktivität Lh = L1 / (1 - σ) = 7.4 H (1 - 0.01) = 7.33 H 7.3 H
Streuinduktivität der Primärwicklung Lσ1 = L1 σ = 7.4 H  0.01 = 74 mH 74 mH
Streuinduktivität der Sekundärwicklung Lσ2 = L1 σ = 20 mH  0.01 = 0.20 mH 200 μH
Eisenverluste PvFeγFe ρFe lFe AFe = 6 W/kg  7800 kg/m³  0.32 m  0.0004 m² = 5.99 W 6 W
Ersatzwiderstand für die Eisenverluste RFe = U1² / PvFe = (230 V)² / 6 W = 8.82 kΩ 8.8 kΩ

Daraus ergibt sich untenstehendes Ersatzschaltbild.

dimensionierung_transformator_ersatzschaltbild
Ersatzschaltbild mit den berechneten Werten.

Das Ersatzschaltbild für den Transformator hat 2 Unzulänglichkeiten:

  • keine galvanischen Trennung zwischen der Primär- und Sekundärwicklung
  • keine Transformation mit dem Übersetzungsverhältnis 1530 / 80 = 19.13. Das wird mit getrichenen Grössen ['] auf der Sekundärseite korrigiert:
Beziehung Rechnung Ergebnis
U2' = U2 ü = U1 = 12 V  19.13 = 229.6 V 230 V
I2' = I2 / ü = I1 = 20 A /  19.13 = 1.05 A 1.1 A
RCu2' = RCu2 ü² ≈ RCu1 = 33 mΩ  (19.13)² = 12.1 Ω 12 Ω
Lσ2' = Lσ2 ü² ≈ Lσ1 = 0.20 mH  (19.13)² = 73.2 mH 74 mH
Z2' = Z2 ü² Für alle Impedanzen. welche an der Sekundärwicklung angeschlossen werden

Bestimmung der Betriebsdaten wie Nennleistung, Leerlaufstrom, Wirkungsgrad sowie Kurzschlussstrom

Bezeichnung Beziehung Rechnung Ergebnis Bemerkung
Nennleistung S2 = U2 I2 = 12 V  20 A = 240 VA 240 VA a
Magnetisierungsstrom Iμ = U1 / j ω Lh = 230 V / (314 s-1 7.4 H) = 0.099 A 100 mA b
Eisenverluststrom IFe = U1 / RFe = 230 V / 8.8 kΩ = 0.0261 mA 26 mA c
Leerlaufstrom I0 = √(IFe² + Iμ²) = √((0.026 A)² + (0.1 A)²) = 0.1033 mA 103 mA d
Verluste bei Nennstrom Pv = PvFe + 2 PvCu1 = PvFe + 2 RCu1 I1² = 6 W + 2  12 Ω  (1 A)² = 30 W 30 W
Nennwirkungsgrad η = P / (P + Pv) = 240 W / (240 W + 30 W) = 0.889 89% e
Verluste bei Halblast Pv50% = PvFe + 2 RCu1 (I1 0.5)² = 6 W + 2  12 Ω (1 A  0.5)² = 12 W 12 W f
Wirkungsgrad bei Halblast η50% = P50% / (P50% + Pv50%) = 120 W / (120 W + 12 W) = 0.909 91%
Kurzschlussstrom I1kU1 / (2 √(RCu1² + (ω Lσ1)²)) = 230 V / (2  √((12 Ω)² + (314 s-1 0.074 H)²))  =  4.4 A 4.4 A g
Kurzschlussspannung UkU1 I1 / I1k = 230 V 1 A / 4.4 A = 52 V 52 V h
Bezogene Kurschlussspannung uk = εc = Uk / U1 = 52 V / 230 V 23% i

Bemerkungen:

  1. Die Transformatorbelastung (zulässige Kupfer- und Eisenverluste) ist unabhängig von der übertragenen Wirkleistung, somit ist die Nenngrösse eines Transformators die Scheinleistung, also unabhängig vom Leistungsfaktor cosφ).
  2. Der Spannungsabfall über den Leiterwiderstand und die Streuinduktivität ist im allgemeinen zu vernachlässigen (0.1 A  26 Ω = 2.6 V gegenüber 230 V).
  3. Leerlaufstrom durch den Ersatzwiderstand für die Eisenverluste.
  4. Der Magnetisierungsstrom durch die Hauptinduktivität ist dominant.
  5. Bei der Berechnung des Wirkungsgrades wird mit einer ohmischen Last belastet, damit Wirkleistungen miteinander verglichen werden können.
  6. Der Wirkungsgrad ist belastungsabhängig, im Leerlauf ist der Wirkungsgrad 0%, weil keine Leistung übertragen werden und die Eisenverluste doch vorhanden sind
  7. Der Kurzschlussstrom ist 4.4 mal grösser als der Nennstrom. Der Spannungsabfall über die Streuinduktivität ist vor allem bei grösseren Transformatoren dominant
  8. Das heisst, dass bei einem sekundärem Kurzschluss und einer Eingangsspannung von 52 V der Nennstrom von 1 A fliesst
  9. Dimensionslose Angabe der Weichheit eines Transformators

Korrektur des Übersetzungsverhältnisses

Bei einem Primärstrom von 4.4 A ist die Sekundärspannung 0 V (Kurzschluss). Das heisst, dass beim Nennstrom von 1 A die Sekundärspannung nicht 12 V sondern um 23% tiefer bei 9.3 V liegt. Damit die Sekundärspannung bei übertragener Nennleistung den gewünschten Wert von 12 V hat, müssen mehr Sekundärwindungen eingebaut werden. Wenn dieser Transformator mit einer angepassten Sekundärwicklung im Leerlauf betrieben wird, liegt die Spannung an den Sekundärklemmen bei etwa 15.6 V, das Übersetzungsverhältnis ist von 19.1 auf 14.8 gesunken.


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